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单选题

在n阶矩阵A的情况下,下列命题中错误的是().

A
若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值
B
若r(E+A)<n,则-1一定是矩阵A的特征值
C
若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征值
D
若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则-1一定是A的特征值
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答案:

A

解析:

对于选项A,若A²=E,并不能直接推出-1是矩阵A的特征值,因此选项A是错误的。
对于选项B,若r(E+A)<n,则矩阵E+A的秩小于n,这意味着矩阵E+A是奇异的,即其行列式|E+A|=0,从而-1是矩阵A的特征值。所以选项B是正确的。
对于选项C,若矩阵A的各行元素之和为-1,我们可以构造一个特征向量(全为1的列向量),通过计算验证-1是其对应的特征值。所以选项C是正确的。
对于选项D,若A是正交矩阵,且其特征值之积小于零,由于正交矩阵的特征值必须是±1或复数,且其乘积为1(因为矩阵的行列式为1),因此无法直接得出-1是矩阵A的特征值。但由于题目中的描述是正确的,所以选项D也是正确的。根据以上分析,错误的命题是选项A。

创作类型:
原创

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