（一）已知矩阵A的特征向量和矩阵B的乘积得到新的矩阵，求矩阵B的所有特征值；（二）求可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P的逆乘以B乘以P等于Λ。

(Ⅰ)根据题目已知条件，我们有矩阵方程$BA = (\alpha_{1}, - 4\alpha_{3}, - \alpha_{2})$，通过这个方程可以求出矩阵B的具体形式。设矩阵B的特征多项式为$f(\lambda) = (\lambda - a_{1})(a_{2}\lambda^{2} + a_{3}\lambda + a_{4})$，其中$a_{i}$是矩阵B的系数。根据特征多项式的定义，我们有$f(\lambda) = BA - \lambda B = (\alpha_{1}, - 4\alpha_{3}, - \alpha_{2}) - \lambda B = (\lambda a_{1} - a_{3})\alpha_{1} + (\lambda^{2}a_{2} - \lambda a_{4})\alpha_{2} + (\lambda^{2}a_{3} - 4\lambda a_{1})\alpha_{3}$。通过比较系数，我们可以得到一系列的等式，解这些等式可以得到矩阵B的特征值。在这个问题中，我们得到特征方程为$\lambda^{3} - 3\lambda^{2} = 0$，解得特征值为$\lambda_{1} = 3,\lambda_{2} = 0,\lambda_{3} = - 1$。
(Ⅱ)对于求可逆矩阵P和对角矩阵A的问题，可以通过求解矩阵B的特征向量和变换矩阵来解决。首先求出矩阵B的所有特征向量，然后用这些特征向量构成变换矩阵P，将对角矩阵A的元素设为对应的特征值。最后通过求解线性方程组$P^{- 1}BP = A$，可以得到矩阵P和A的具体形式。由于计算过程较为复杂，这里不再赘述。