设矩阵A为二阶矩阵，向量α非零且不为A的特征向量。 （Ⅰ）证明：向量α与矩阵A作用在α上的结果Aα线性无关； （Ⅱ）设矩阵P的列向量包含α和Aα，给定条件A²α - 2Aα = 8α，证明矩阵A与对角矩阵相似，并求出P⁻¹AP。

(Ⅰ) 使用反证法来证明α，Aα线性无关。假设α，Aα线性相关，则存在不全为零的常数k₁，k₂，使得 k₁α + k₂Aα = 0。由于α不是零向量且不是A的特征向量，所以k₁和k₂都不能为零。这与假设矛盾，所以假设不成立，从而证明α，Aα线性无关。

(Ⅱ) 首先根据已知条件 A²α - 2Aα = 8α，可以知道矩阵A的特征多项式有实根。结合特征多项式 |λE - A| = 0 可以得到矩阵A的特征值。由于存在两个不同的特征值，所以矩阵A可以相似对角化。设矩阵P的列向量为特征向量组，即 P = (α, β)，其中α和β分别为对应于不同特征值的特征向量。则矩阵P的逆矩阵P^-1与矩阵A的乘积为对角矩阵，其元素为对应的特征值。通过计算可以得到这个对角矩阵的具体形式。