根据题目给出的选项描述，我们需要判断函数f(x)及其导数的连续性。题目描述中提到了函数f(x)的连续性和其导数的连续性以及特定点的导数存在性。
选项A表示f(x)连续但f’(0)不存在，这与题目描述中的条件不符，因为题目没有提到f(x)在x=0处的导数不存在的情况。
选项B表示f’(0)连续但f’(x)在x=0处不连续，这与题目描述也不符。题目没有提到关于f’(x)在x=0处的连续性信息。
选项C表示f’(x)连续但f''(0)不存在。这是一个可能的情况，因为函数的一阶导数连续并不意味着二阶导数一定存在。特别是在某些拐点或不可导点上，二阶导数可能不存在。
选项D表示f''(0)存在但f’(x)在x=0处不连续。这与题目描述不符，因为题目没有提到关于二阶导数在x=0处的存在性和一阶导数连续性的关系。
因此，结合题目的描述和选项的分析，选项C是正确的答案。