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简答题
设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
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答案：
解析：
（I）对于方程 (x₁ - x₂ + x₃)^2 + (x₂ + x₃)^2 + (x₁ + ax₃)^2 = 0，我们可以将其展开并化简。由于平方项总是非负的，所以各项必须同时为0才能使方程成立。因此，我们有：
x₁ - x₂ + x₃ = 0
x₂ + x₃ = 0
x₁ + ax₃ = 0
解这组方程，可以得到 x₁ = x₂ = -x₃。这意味着满足方程的点 (x₁, x₂, x₃) 形成了一条直线。
（Ⅱ）对于实二次型的规范形，我们需要进行线性变换。首先，当 a = 0 时，方程已经是对角形式，即 y² + z² 的形式。当 a ≠ 0 时，我们需要进行坐标变换以将原方程转化为规范形。具体的变换取决于 a 的值。这通常涉及找到适当的线性变换矩阵，将原变量 (x₁, x₂, x₃) 转换为新变量 (y, z)。然后，通过适当的代数操作，我们可以将原方程转化为规范形 y² + z²（或更复杂的形式，取决于 a 的值）。
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