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单选题

已知函数y=x^3+ax^2+bx+c在x=-2处取得极值,并且与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求参数a、b、c的值。

A
a=1,b=-8,c=6
B
a=-1,b=-8,c=-6
C
a=1,b=8,c=-6
D
a=-1,b=8,c=-6
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答案:

A

解析:

已知函数 $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ 在 $x = -2$ 处取得极值,根据极值的定义,函数在该点的导数应为零,即:

$f’(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0 \text{ 当 } x = -2$由此可得一个关于 $a$ 和 $b$ 的方程。

另一方面,已知该函数与直线 $y = -3x + 3$ 相切于点 $(1, 0)$,因此该点的坐标满足函数表达式,并且在该点的导数等于直线的斜率。即:

$0 = 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = -3 \cdot 1 + 3$以及

$-3 = 3 \cdot 1^2 + 2a \cdot 1 + b$这将给出关于 $a$ 和 $b$ 的另外两个方程。

联立这三个方程,可以解得 $a = 1, b = -8$。然后代入原函数表达式 $y = x^3 + ax^2 + bx + c$,通过点 $(1, 0)$ 可求得 $c = 6$。

因此,答案为 A。

创作类型:
原创

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