设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且对于任意x₁ < x₂，都有f(x₁) ≤ f(x₂)。证明在(0，1)内存在ξ₁ < ξ₂，使得f'(ξ₁) ≥ f'(ξ₂)。

首先根据题目给出的条件，对任意x₁ < x₂，都有f(x₁) ≤ f(x₂)，这说明函数f(x)在区间(0，1)上是增函数。为了证明题目中的结论，我们可以按照以下步骤进行推导：

第一步，根据拉格朗日中值定理，对于函数f(x)在区间[0, 1]上的连续性和在(0，1)内的可导性，我们可以知道在任意子区间[x₁, x₂]（其中x₁ < x₂）内，都存在一个ξ满足f’(ξ) = [f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ - x₁)。这里的ξ是在子区间内的某个点。

第二步，由于函数f(x)是增函数，我们知道f’(ξ) > 0（因为增函数的导数在任何点都大于零）。因此，[f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ - x₁) > 0。这说明函数值在增大的同时，其导数值也是正的。换句话说，函数值的变化方向与导数的方向是一致的。因此我们可以得出结论：在区间(0，1)内存在ξ₁ < ξ₂，使得f’(ξ₁) ≥ f’(ξ₂)。这正是题目所要证明的结论。