求下列定积分： （Ⅰ）∫[0:a] (x + a) dx （Ⅱ）∫[a:b] cos(x) sin(x) dx （Ⅲ）∫[-π:π] sin(x + b) dx （其中 b 为常数） （Ⅳ）∫[0:π/2] (sin^2 x + cos^2 x) dx （Ⅴ）∫[-a:a] (sin^2 x - cos^2 x) dx （其中 a 为正实数） （Ⅵ）∫[0:b] e^(x) sin x dx （其中 b 为正实数）

（Ⅰ）对于第一个积分，我们可以使用微积分基本定理进行求解。首先，通过代入法将积分转换为可求解的形式，然后进行积分运算，最终得出结果为$\frac{\pi}{2}\left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$。

（Ⅱ）对于第二个积分，我们可以采用分子分母同时乘以$(1-\sin x)$的方法，然后利用微积分基本定理进行求解。通过一系列的变换和积分运算，得出结果为$\frac{\pi}{2}\cos a - \sin a\cos b$。

（Ⅲ）第三个积分可以通过代入法求解。代入$x = \pi$，然后利用微积分基本定理进行积分运算，得出结果为$- \frac{\pi}{2}\sin b$。

（Ⅳ）第四个积分需要考虑拆项凑微分的方法。通过拆分项并应用微积分基本定理，得出结果为$\frac{\pi}{4}(a^{2} + b^{2})$。

（Ⅴ）第五个积分可以通过一系列的变换和积分运算求解。通过代入和微分运算，得出结果为$\frac{\pi}{2}(a^{2} - b^{2})$。

（Ⅵ）最后一个积分涉及到指数函数。通过代入法并应用微积分基本定理进行求解，得出结果为$\frac{\pi}{2}(e^{b} - e^{- b})$。