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简答题
已知方阵A和B满足条件|B|≠0且(A-E)^-1=(B-E)^T，求矩阵A的逆矩阵A^(-1)并用B表示。
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答案：
解析：
根据题目给出的条件，我们有 (A-E)^-1 = (B-E)^T，即 A 的逆矩阵和 B 的转置矩阵减去单位矩阵的差值的转置相等。通过一系列的矩阵运算，我们可以推导出 A 的逆矩阵 A^(-1) 与 B 的转置矩阵之间的关系。具体推导过程如下：
首先，由题意知 (A-E)(A-E)^-1 = (A-E)(B^T-E)，展开后得到 E = AB^T - A - B^T + E。进一步整理，我们得到 A(B^T - E) = B^T。
由于 |B| ≠ 0，我们知道 B 是可逆的，因此 B 的转置矩阵 B^T 也是可逆的。于是我们可以得到 A(B^T - E)(B^T)^(-1) = B^T · (B^T)^(-1) = E。这意味着 A 的逆矩阵 A^(-1) 可以表示为 (B^T - E)(B^T)^(-1)。
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