设A为2n+1阶正交矩阵，且|A|=1，证明：A-E不可逆．

我们可以按照以下步骤来证明：

第一步，由于A是正交矩阵，我们知道它满足$AA^T=A^TA=E$（E是单位矩阵）。根据题目已知条件，矩阵A的阶数为$2n+1$，并且其行列式|A|=1。

第二步，我们计算矩阵A的伴随矩阵，根据矩阵伴随的定义和性质，有$adj(A)=|A| \cdot adj(adj(A))$。由于|A|=1，所以adj(A)=adj(adj(A))。这说明伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的值，即adj(A)的行列式值为原矩阵行列式的值乘以单位矩阵E的对角线元素（此处为1），所以adj(A)的行列式值为原矩阵的行列式的值。因此，我们有adj(A)=E。这是因为伴随矩阵的元素是原矩阵元素的代数余子式的转置，对于正交矩阵来说，其代数余子式与原矩阵相同，因此伴随矩阵即为原矩阵的逆矩阵的转置乘以原矩阵的行列式值，此处为逆矩阵乘以单位矩阵即逆矩阵本身。因此我们有adj(A)=A^-1。即矩阵A是可逆的。这是基于伴随矩阵的性质和正交矩阵的性质得出的结论。因此我们可以得到结论：如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵存在且唯一。由于题目中已知条件|A|=1，我们可以推断出逆矩阵存在且唯一。同时我们知道单位矩阵E是可逆的。所以我们可以得出结论：如果两个可逆矩阵之差不可逆，那么这两个可逆矩阵之差的结果不可能是可逆的。因此我们可以假设如果假设存在逆矩阵使得A-E可逆的话那么必然存在逆矩阵使得单位矩阵E也可逆这与已知条件矛盾因此假设不成立所以我们可以得出结论：由于假设矛盾所以假设不成立即证明出结论：由于假设存在逆矩阵使得A-E可逆不成立所以得出结果：A-E不可逆．因此得出结果正确．