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简答题
证明矩阵的秩 r(A) 等于其转置矩阵与自身相乘后的秩 r(A^T A)。
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答案：
解析：
要证明r(A)=r(A^T^A)，只需证明AX=0与A^T^AX=0为同解方程组。
首先，如果AX₀=0，则可以得到矩阵A的列向量与向量X₀的乘积为0，即A的列向量与向量X₀正交。由于矩阵的转置不改变矩阵的行列之间的关系，所以AT的列向量也与向量X₀正交。进一步计算可以得到A^T^AX₀=0，这说明如果AX=0，则一定有A^T^AX=0。
反之，如果A^T^AX₀=0，由于矩阵乘法满足分配律和结合律，可以得到X₀^T^A^T^AX₀=0，进一步化简得到(AX₀)^T*(AX₀)=0。由于向量的内积为0意味着两个向量正交，所以AX₀=0。这说明如果A^T^AX=0，则一定有AX=0。
因此，我们证明了AX=0与A^T^AX=0为同解方程组，从而得出r(A)=r(A^T^A)。
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原创
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