已知向量α₁ = (1,2,3)，α₂ = (2,-1,1)，α₃ = (-2,k,4)线性相关，求k的值。

已知向量α~1~=(1,2,3)^T^，α~2~=(2,-1,1)^T^，α~3~=(-2,k,4)^T^线性相关，根据向量线性相关的定义，存在不全为零的实数$x_1, x_2, x_3$使得 $x_1α~1~ + x_2α~2~ + x_3α~3~ = 0$。因此，矩阵的秩小于向量的个数，即矩阵的秩小于等于线性相关的向量的个数减一（这里是两个向量线性相关）。因此，矩阵的秩为 1。由此得到方程 $-k = -\frac{1}{2}$，解得 $k = -\frac{1}{2}$。