给定四维向量组α₁=(1，1，3，1)^T，α₂=(1，1，-1，3)^T，α₃=(5，-2，7，9)^T，α₄=(1，a，-5，a+3)^T线性相关，求参数a的值，并给出不全为0的组合系数使这四个向量的线性组合为0。

首先，根据题目给出的四维向量组α~1~、α~2~、α~3~、α~4~线性相关的条件，我们知道系数矩阵的秩会小于向量的个数，这意味着系数矩阵的行列式值为0。

然后，构造以下矩阵：

| 1 | 1 | 5 | 1 | a₁ |
| 1 | 1 | -2 | a² | a₂ |
| 3 | -1 | 7 | -5 | a₃ |
| 1 | 3 | 9 | a+3 | a₄ |

其中a₁, a₂, a₃, a₄为待求的组合系数。对这个矩阵进行初等行变换，通过行列式值为0的条件，我们可以求得a的值。计算得到a = -2。

接下来，我们需要找到不全为0的组合系数使得α~1~, α~2~, α~3~, α~4~的线性组合为0。根据线性组合的性质，我们可以列出如下方程组：
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 0（由于线性组合为0）
同时考虑到a₁, a₂, a₃不全为0（题目要求），我们可以通过解这个方程组找到满足条件的不全为0的组合系数。