给定两个n阶可逆矩阵A和B，且满足条件 $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似，判断下列结论中正确的个数为多少？ ① $AB$ 与 $BA$ 相似； ② $A$ 与 $B$ 相似； ③ $A^2$ 与 $B^2$ 相似； ④ $A^T$ 与 $B^T$ 相似。

对于选项①，由于 $A^{-1} \sim B^{-1}$，根据矩阵相似的定义及性质，我们有 $AB \sim BA$，所以选项①是正确的。

对于选项②，已知 $A^{-1} \sim B^{-1}$，但并不能直接推出 $A \sim B$。因此选项②是错误的。

对于选项③，同样地，从 $A^{-1} \sim B^{-1}$ 我们无法得出 $A^2 \sim B^2$，所以选项③是错误的。

对于选项④，转置运算并不保持相似性，即 $A^T \sim B^T$ 不一定成立，所以选项④是错误的。

综上，只有选项①是正确的，因此正确的个数为1个。故选D。