设矩阵A是一个三阶矩阵，有三个不同的特征值λ₁，λ₂，λ₃，它们对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃。令β = α₁ + α₂ + α₃。试回答下列问题： （Ⅰ）证明：β，Aβ，A²β线性无关； （Ⅱ）若已知A³β = Aβ，求矩阵A - E的秩r(A - E)。

(Ⅰ)首先明确题目给出的条件，即矩阵A有三个不同的特征值及其对应的特征向量。假设存在一组不全为零的系数k_1，k_2，k_3使得线性组合k_1β + k_2Aβ + k_3A^2β = 0。根据特征向量的性质（特征向量对应的特征值是唯一的），我们可以得到k_1 = k_2 = k_3 = 0。因此，β，Aβ，A^2β线性无关。证明过程利用了特征向量的唯一性和线性组合的性质。

(Ⅱ)根据已知条件A^3β = Aβ，我们可以得到关于矩阵的特征值λ的方程λ^3β = λβ。解这个方程可以得到矩阵的特征值λ满足λ^2 = 1，即λ = ±1。然后利用矩阵的秩的性质（矩阵的秩等于其行列式的值等于其特征值乘积的绝对值），结合题目中给出的矩阵A有三个不同的特征值这一条件，我们可以判断矩阵A是可逆的。因此，r(A - E) = r(A) = 3。所以矩阵A - E的秩为3。这一部分主要利用了特征值的性质和矩阵秩的性质进行求解。