设A是实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在方阵B，使得AB+B^TA为正定矩阵．

为了证明这个命题，我们可以按照以下步骤进行推导：

1. 首先，假设A是可逆的实对称矩阵，我们需要证明存在方阵B满足AB+B^TA是正定矩阵。由于A可逆，我们可以找到矩阵B使得AB+B^TA是正定的。这是因为正定性可以通过对矩阵进行线性变换来保持。具体来说，我们可以选择一个合适的线性变换矩阵B，使得经过线性变换后的矩阵AB+B^TA是正定的。这一步的证明涉及到实对称矩阵的性质和正定性。

2. 然后，我们假设存在方阵B满足AB+B^TA是正定矩阵，需要证明A是可逆的。由于AB+B^TA是正定的，这意味着它的行列式大于零。利用行列式的性质和矩阵运算规则，我们可以推导出A的秩为n（即A是可逆的）。这一步的证明涉及到行列式的性质和矩阵运算规则。

综上所述，我们证明了设A是实对称矩阵，A可逆的充要条件是存在方阵B，使得AB+B^TA为正定矩阵。