根据题目给出的函数图像和性质，我们可以得知：
1. 偶函数求导后变为奇函数，奇函数求导后变为偶函数。这是函数求导的基本性质。
2. 求导不会改变函数的周期性。对于周期函数，其导数仍然具有相同的周期性。
3. 由于f(x)是偶函数，且周期为2π，那么对其求三次倒数后得到的函数将是奇函数，并且周期仍为2π。
4. 根据导数的计算，f(x)在x=0处的三次导数f'''(0) = 0。这是因为导数表示函数在某一点的斜率或变化率，而在极值点处，斜率为零。