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简答题
设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(II)求f(x1，x2，x3)的规范形．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(II)求f(x1，x2，x3)的规范形．
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答案：
解析：
(I)根据题目给出的实二次型$f(x_{1}，x_{2}，x_{3})$，当$f(x_{1}，x_{2}，x_{3}) = 0$时，表示的是一个二次曲面。将$f(x_{1}，x_{2}，x_{3})$展开并整理，得到三个变量的二次方程。然后解这个方程，可以得到$x_{1} = x_{2}$或$x_{3} = 0$，这就是实二次型$f(x_{1}，x_{2}，x_{3}) = 0$的解。
(II)对于实二次型的规范形，可以通过坐标变换来实现。将原实二次型$f(x_{1}，x_{2}，x_{3})$化为标准型，即所有项的指数都为2的形式，且系数只有正负1和0。通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以找到合适的坐标变换，使得原实二次型变为规范形。最终得到规范形为$(y_{1})^{2} + (y_{2})^{2}$。
创作类型：
原创
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