已知方程 $x^2 + (2k+1)x + k^2 - 2 = 0$ 的两个实数根的平方和等于11，求k的值。

已知方程 $x^2 + (2k+1)x + k^2 - 2 = 0$ 的两个实数根的平方和等于 11，设这两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$。根据二次方程的性质，有：

$x_1 + x_2 = -(2k+1)$ （系数与根的和关系）
$x_1 \times x_2 = k^2 - 2$ （系数与根的积关系）
而题目要求的是 $x_1^2 + x_2^2 = 11$，我们可以利用平方差公式进行转换：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \times x_2$。代入已知条件得：
$(2k+1)^2 - 2(k^2 - 2) = 11$。解这个方程可以得到 $k = 1$ 或 $k = -3$。但根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$ 的要求，我们需要验证这两个解是否都满足方程有两个实数根的条件。当 $k = 3$ 时，方程变为 $x^2 + 7x + 5 = 0$，此时判别式 $\Delta < 0$，说明方程没有实数根，因此 $k = 3$ 不是解。所以最终解为 $k = 1$。