根据题目给出的图像，可以确定函数$y = x^{2}$与直线$y = ax + b$在交点处的函数值相等，且斜率不同。根据图像可知，直线穿过点$( - 1,1)$和$(2,4)$，代入直线方程$y = ax + b$得到方程组：$\left{ \begin{array}{r} a - b + 1 = 0 \ 2a + b - 4 = 0 \end{array} \right.$，解得：$\left{ \begin{array}{r} a = 2 \ b = 2 \end{array} \right.$，因此答案为B。