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单选题

当x趋近于0时,对于函数f(x)=ln(1+x^2)和g(x)=x^2,下列哪个选项描述是正确的?

A
f(x)是g(x)的高阶无穷小.
B
f(x)是g(x)的低阶无穷小.
C
f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小.
D
f(x)与g(x)是等价无穷小.
E
以上都不正确.
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答案:

D

解析:

考察函数在特定点的无穷小性质。首先,计算两个函数在x→0时的极限比值:

f(x)/g(x) = ln(1+x^2)/x^2 当 x→0。

利用对数函数的性质,我们知道当 x 趋于 0 时,ln(1+x^2) 趋于 0,并且 x^2 也趋于 0。因此,该比值的极限为:

lim(x→0) [ln(1+x^2)/x^2] = lim(x→0) [ln(1+x)/x] 的极限值,这是因为在 x→0 时 x^2 和 x 是等价无穷小。已知 lim(x→0) [ln(x)/x] = 1,所以 f(x) 与 g(x) 在 x→0 时是等价无穷小。因此,答案是 D。

创作类型:
原创

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