根据题目给出的函数图像，我们可以分析出以下结论：
选项A：在x=0处，函数的值并没有达到极小值，所以A错误。
选项B：同样，在x=0处，函数的值也没有达到极大值，所以B错误。
选项C：从图像中可以看出，在x=0处，函数的切线几乎是水平的，即切线的斜率接近于0，但并没有平行于x轴（因为函数在此处仍然有微小的斜率），所以C是正确的。
选项D：驻点是指函数的一阶导数为零的点。从图像上看，x=0是函数的一个拐点，且一阶导数在该点不为零，所以它不是驻点，D错误。
选项E：从图像上看，函数在x=0处是连续的，并且没有显示出不可导的迹象，所以E错误。
综上，正确答案是C。