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单选题
关于n阶方阵A,已知其行列式|A|=0,下列叙述错误的有几个?
叙述如下:(1)矩阵A必有一列元素全为0;(2)矩阵A必有2列元素对应成比例;(3)矩阵A必有一列向量是其余列向量的线性组合;(4)矩阵A的任意一列向量都是其余列向量的线性组合。
A
B
C
D
E
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答案:
解析:
对于n阶方阵A,已知其行列式|A|=0,这意味着矩阵A是可逆的。根据线性代数的知识,我们知道可逆矩阵的性质包括以下几点:
(1) 如果矩阵A可逆,那么它的每一列元素都不能全为0。因为如果某一列全为0,那么矩阵A就会成为奇异矩阵,与可逆矩阵的定义矛盾。所以叙述(1)是错误的。
(2) 可逆矩阵的列向量线性无关,即不存在两列元素对应成比例的情况。因此叙述(2)也是错误的。
(3) 由于矩阵A可逆,存在矩阵B使得BA=AB=E(单位矩阵)。这意味着矩阵A的任意一列向量都可以通过其他列向量线性组合得到,即叙述(3)是正确的。但叙述(4)并不准确,因为并不是所有列向量都是其余列向量的线性组合。例如,对于对角线上的元素,它们本身并不依赖于其他元素组合而成。因此叙述(4)是错误的。综上,错误的叙述有3个。
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