已知向量α₁=(1，2，1)^T，α₂=(2，3，a)^T，α₃=(1，a+2，-2)^T，β₁=(1，-1，a)^T，β₂=(1，3，4)^T，且β₁不能由α₁，α₂，α₃线性表示，β₂可以由α₁，α₂，α₃线性表示，求参数a的值．

根据题意，已知向量组α~1~, α~2~, α~3~和β~1~, β~2~的坐标，由于β~1~不能由α~1~, α~2~, α~3~线性表示，而β~2~可以由α~1~, α~2~, α~3~线性表示，可以得出矩阵方程为：
[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \
a & a + 2 & - 2 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
\end{bmatrix}
= \beta_2
]以及[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \
a & a + 2 & - 2 \
a & a + 3 & a \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
\end{bmatrix}
\neq \beta_1, \text{其中至少有一个方程无解或解为全零解}。]通过对矩阵方程进行求解和比较，可以得出参数a的值。具体来说，通过计算行列式以及解方程组，可以得到两个可能的解：a = 2 或 a = - 5。