求曲面$2x^{3} + 3y^{2} + z = 9$在点$(1, -1, 4)$处的切平面方程及法线方程。

求曲面在一点的切平面方程和法线方程，首先需要求出该点处的梯度向量（即曲面上每一点处的法向量）。然后利用梯度向量与点的坐标求出切平面方程和法线方程。本题中，已知曲面方程为 $2x^{3} + 3y^{2} + z = 9$，在点 (1,-1,4) 处求切平面和法线，需要先求出该点处的梯度向量。梯度向量为 $(6x^{2}, 6y, 1)$，代入点 (1,-1,4)，得到梯度向量为 $(6, -6, 1)$。然后利用点法式求切平面方程和法线方程。通过计算得到切平面方程为 $x + y - z + 2 = 0$，法线方向为 $(- \frac{\partial z}{\partial x}, - \frac{\partial z}{\partial y}, - \frac{\partial z}{\partial z})$，即 $( - 6, 6, - 1)$ 方向。因此，本题答案为切平面方程 $x + y - z + 2 = 0$ 和法线方向为 $( - 6, 6, - 1)$。至于具体的法线方程形式，可以根据题目要求进一步求解。