求微分方程$(x^{2} + 1)y^{\prime} + 2xy - \cos x = 0$在初始条件$y(0) = 3$下的特解。

首先，我们需要将微分方程 (x^2^+1)y’+2xy-cosx=0 化简为 dy/dx + 2xy = cosx 的形式。然后，我们可以采用分离变量法求解这个微分方程。将 dy/dx 移到等式左边，得到 dy + 2xydx = cosxdx。接下来，对等式两边进行积分，得到通解为 y = (xsinx + cosx)/x^2 + C（其中 C 为积分常数）。
然后，根据初始条件 y(0)=3，我们可以代入通解求得积分常数 C 的值。代入 x=0，得到 y=3 = (0+1)/0^2 + C，从而解得 C = -2。
最后，代入 C 的值，得到特解为 y = (xsinx + cosx)/x^2 - 2/x。