求微分方程y'+y=e^x+1的通解．

给定微分方程为：
$$y’ + y = e^{x} + 1$$
首先，将方程左边整理为完全平方的形式，即：
$$(y’ + y)’ = e^{x}$$
这里，我们设 $z = y’ + y$，则原方程可以转化为关于 $z$ 的一阶微分方程：
$$z’ = e^{x}$$
求解得到 $z$ 的表达式后，再求解 $y$。通过求解上述方程，我们得到：
$$z = e^{x}$$
从中解得 $y’$ 的表达式为：
$$y’ = e^{x} - y$$
接下来，我们可以使用变量分离法求解原方程。将上述方程改写为：
$$dy = (e^{x} - y)dx$$
进一步整理得到：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
对两边积分，得到通解为：
$$y = c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{x} - e^{x}$$其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是积分常数。因此，该微分方程的通解为 $y = c_1e^{-x} + c_2e^{x} - e^{x}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。