Only after they had taken the machine apart _______ the problem.

首先，根据语法规则，“only+状语(从句)”位于句首时，句子(或主句)应用部分倒装，即将助动词、情态动词或be动词提至主语前面。因此排除C和D两个选项。其次，从句中已经使用了过去完成时“had taken”，表示过去的某个动作已经完成。而主句的动作发生在从句动作之后，所以主句应该使用一般过去时。结合上述分析，选项A“did they find”符合语法规则和句子含义，是正确答案。