某矿区因长期私挖滥采遗留重大水害隐患，现面临雷雨天气引发的矿井水害风险。地方政府发布四级警报后，应该采取的措施是？

根据《突发事件应对法》第四十四条的规定，发布三级、四级警报后，县级以上地方各级人民政府应当启动应急预案。因此，在警报发布后，地方政府应采取的措施是启动应急预案，选项A正确。其他选项如责令矿山应急救援队伍负有特定职责的人员处于待命状态、加强对重点煤矿、重要部位和重要基础设施的安全保卫、转移、疏散或者撤离易受到雷雨危害的煤矿人员并予以妥善安置等，是在发布一级、二级警报，宣布进入预警期后应采取的措施，与题干中的警报级别不符。