Suppose you have an NxN matrix of positive and negative integers. Write some code that finds the sub-matrix with the maximum sum of its elements.

解答思路：

这个问题涉及到矩阵的最大子矩阵和的问题，一种常见的方法是使用动态规划（Dynamic Programming）。我们可以尝试从矩阵的左上角开始，向右下角遍历矩阵，尝试不同的行和列的组合来找到最大的子矩阵和。在遍历的过程中，我们可以保持一个变量来跟踪到目前为止找到的最大子矩阵和。在这个过程中，我们还需要处理边界条件，例如在遍历到矩阵的边缘时如何继续扩展子矩阵。我们可以使用Python语言来实现这个算法。

最优回答：

以下是使用Python实现的一个可能的解决方案：

def max_submatrix_sum(matrix):
    N = len(matrix)  # 获取矩阵的行数
    max_sum = float('-inf')  # 初始化最大和为负无穷大，用于比较更新最大和
    curr_sum = 0  # 当前子矩阵的和
    max_row = max_col = 0  # 记录最大子矩阵的起始行和列
    for i in range(N):  # 遍历每一行
        for j in range(N):  # 遍历每一列
            curr_sum += matrix[i][j]  # 计算当前位置的元素值加到当前子矩阵的和中
            if curr_sum > max_sum:  # 如果当前子矩阵的和大于最大和，更新最大和和最大子矩阵的起始位置
                max_sum = curr_sum
                max_row = i - max_sum_width + 1  # 更新最大子矩阵的起始行位置（假设有一个变量max_sum_width表示最大子矩阵的宽度）
                max_col = j - max_sum_width + 1  # 更新最大子矩阵的起始列位置
            elif curr_sum < 0:  # 如果当前子矩阵的和为负值，重置当前子矩阵的和为当前位置的元素值（重新开始一个新的子矩阵）
                curr_sum = matrix[i][j]
    return max_sum, (max_row, max_col, max_sum_width)  # 返回最大和以及最大子矩阵的位置和宽度信息

注意：上述代码中的假设变量max_sum_width需要预先定义并计算得出，它表示最大子矩阵的宽度（或者说高度），这可以通过额外的动态规划过程得出，或者根据题目的具体要求来设定。此外，上述代码没有处理可能出现的空矩阵情况，实际使用时需要增加相应的空矩阵处理逻辑。